jueves, 3 de marzo de 2016

Modelos de Linea de Espera


Rondon Albornoz María Andreina
CI: 18.308.114
Métodos Cuantitativos para la Gerencia II


Modelos de líneas de espera o colas: Los modelos de líneas de espera o colas ayudan a los gerentes a comprender y tomar mejores decisiones concernientes a  la operación de sistemas en que intervienen líneas de espera.


Recuerde la última vez que tuvo que esperar en la caja de un supermercado, en una ventanilla de su banco local, o a que lo atendieran en un restaurante de comida rápida. En éstas y en muchas situaciones de línea de espera, el tiempo que pasa esperando es indeseable. La adición de más cajeros en supermercados y bancos o despachadores en restaurantes de comida rápida no siempre es la estrategia más económica para mejorar el servicio, por lo que las empresas tienen que encontrar formas de mantener los tiempos de espera dentro de límites tolerables. Se han desarrollado modelos que sirvan para que los gerentes entiendan y tomen mejores decisiones en relación con la operación de las líneas de espera. En la terminología de las ciencias de la administración, una línea de espera se conoce como cola, y la serie de conocimientos que tienen que ver con las líneas de espera como teoría de colas.


Los modelos de línea de espera se componen de fórmulas y relaciones matemáticas que pueden utilizarse para determinar las características de operación (medidas de desempeño) de una línea de espera. Las características de operación de interés incluyen:
  1. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema
  2. El número promedio de unidades en la línea de espera
  3. El número promedio de unidades en el sistema (el número de unidades en la línea de espera más el número de unidades que están siendo atendidas)
  4. El tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera
  5. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo para que atiendan)
  6. La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan

Los gerentes que cuentan con esta información son más capaces de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio contra el costo de proporcionar el servicio.


ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS:


Modelo de colas básico: Los clientes llegan en forma individual para recibir alguna clase de servicio. Si un cliente no puede ser atendido de inmediato, entonces ese cliente forma una cola (fila de espera) hasta que lo atiendan. (La cola no incluye a los clientes que ya están siendo atendidos.) Uno o más servidores en la instalación de servicio son los que dan el servicio. Cada cliente es atendido en forma individual por uno de los servidores y luego se va.


Distribución de las llegadas : La definición del proceso de llegada a una línea de espera implica determinar la distribución probabilística del número de llegadas en un lapso de tiempo determinado. En muchas situaciones de línea de espera las llegadas ocurren al azar e independientemente de otras llegadas, y no podemos predecir cuándo ocurrirá una. En esos casos, los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson provee una buena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson da la probabilidad de x llegadas en un periodo de tiempo específico. La función de probabilidad es la siguiente:

con x = 0,1,2...




Donde:
X= número de llegadas en el periodo de tiempo
λ=número medio de llegadas por periodo de tiempo
e=2.71828

El número medio de llegadas por periodo de tiempo λ se llama tasa de llegadas.
Los valores de se determinan con una calculadora o utilizando el Apéndice E. Suponga que una empresa de hamburguesas analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora. Durante un periodo de un minuto, la tasa de llegadas sería λ = 45 clientes/60 minutos = 0.75 clientes por minuto. Así, podemos utilizar la siguiente función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas de clientes durante un periodo de un minuto.


=

Entonces:






La probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo de un minuto es de 0.4724, la probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de un minuto es de 0.3543 y la probabilidad de que lleguen dos clientes en un periodo de un minuto es de 0.1329


Distribución de los tiempos de servicio :
El tiempo de servicio es el tiempo que un cliente emplea en la instalación de servicio una vez que éste se ha iniciado. En una empresa de hamburguesas, el tiempo de servicio se inicia cuando un cliente comienza a hacer el pedido con el despachador y continúa hasta que el cliente recibe el pedido. Los tiempos de servicio rara vez son constantes. En la empresa de Hamburguesas, el número de productos y la combinación de estos pedidos varían considerablemente de un cliente al siguiente. Los pedidos pequeños pueden manejarse en cuestión de segundos, pero los grandes pueden requerir más de dos minutos. Los analistas cuantitativos determinaron que si se puede suponer que la distribución probabilística del tiempo de servicio sigue una distribución probabilística exponencial, existen fórmulas que proporcionan información útil sobre la operación de la línea de espera.
Utilizando una distribución probabilística exponencial, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor que o igual a un tiempo de duración t es:




donde μ = número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de tiempo e = 2.71828. El número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de tiempo, μ, se llama tasa de servicio. Suponga que una empresa de Hamburguesas estudió el proceso de toma y entrega de pedido y encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora. Basada en un minuto, la tasa de servicio sería μ = 60 clientes/60 minutos = 1 cliente por minuto. Por ejemplo, con μ = 1, podemos utilizar la ecuación anterior para calcular probabilidades como la probabilidad de que un pedido pueda ser procesado en 1 / 2 minuto o menos, 1 minuto o menos y 2 minutos o menos. Estos supuestos son: 
 P(tiempo de servicio ≤ 0,5 min.) = 1- e-1(0,5)-1 = 0,6065 =0,3935
P(tiempo de servicio ≤ 1,0 min.) = 1- e-1(1,0) -1 = 0,3679 = 0,6321
P(tiempo de servicio ≤ 2,0 min.) = 1- e-1(2,0) -1 = 0,1353 = 0,8647
Por tanto, concluiríamos que existe 0.3935 de probabilidad de que un pedido pueda ser procesado en 1 / 2 minuto o menos, 0.6321 de probabilidad de que pueda ser procesado en 1 minuto o menos, y 0.8647 de probabilidad de que pueda ser procesado en 2 minutos o menos.
Modelo de línea de espera de canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales:
se presentan fórmulas que pueden utilizarse para determinar las características de operación constante de una línea de espera de canal único. Las fórmulas son apropiadas si las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio llevan una distribución de probabilidad exponencial.
Características de operación
Las fórmulas siguientes se utilizan para calcular las características de operación constante de una línea de espera de canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde:
λ= número medio de llegadas por periodo de tiempo (tasas de llegadas) 
μ = número medio de servicios por periodo de tiempo (tasa de servicios)
1) La probabilidad de que no haya unidades en el sistema:




2) El número promedio de unidades en la línea de espera:

3) El número promedio de unidades en el sistema:



4) El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera:
5) El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

6) La probabilidad que una unidad que llega no tenga que esperar a ser atendida:


7) La probabilidad de que haya n unidades en el sistema:


Los valores de la tasa de llegadas λ y la tasa de servicios μ son, evidentemente, componentes importantes para determinar las características de operación. La ecuación (6) muestra que la relación de la tasa de llegadas a la tasa de servicios, λ/μ, da la probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar porque la instalación de servicio está ocupada. Por consiguiente, λ/μ se conoce como factor de uso de la instalación de servicio. Las características de operación presentadas en las ecuaciones (1) a (7) son apropiadas sólo cuando la tasa de servicios μ es mayor que la tasa de llegadas λ expresado de otra manera, cuando λ/μ=1. Si no existe esta condición, la línea de espera seguirá creciendo sin límite porque la instalación de servicio no tiene suficiente capacidad para atender a las unidades que llegan. Así, para utilizar las ecuaciones (1) a (7) debemos tener μ >λ.
Características de operación en el problema de La Empresa de Hamburguesas: Recuerde que en el problema de Hamburguesas teníamos una tasa de llegadas de λ =0.75 clientes por minuto y una tasa de servicios de μ=1 cliente por minuto. Por tanto, con μ>λ, las ecuaciones (1) a (7) pueden usarse para obtener las características de operación de la línea de espera de canal único de La empresa de Hamburguesas.














La ecuación 7 puede usarse para determinar la probabilidad que haya cualquier número de clientes en el sistema. Aplicándola se obtiene la información de probabilidad de que haya n clientes en el sistema en el problema de la línea de espera de la empresa de hamburguesas.
Uso de modelos de línea de espera por parte de los gerentes :Los resultados de la línea de espera de canal único de la empresa de Hamburguesas muestran varios aspectos importantes sobre la operación de la línea de espera. En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de que empiecen a hacer un pedido, lo que parece un tiempo un tanto largo para un negocio basado en el servicio rápido. Además, los datos de que el número promedio de clientes que esperan en línea es de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan indican que se debe hacer algo para mejorar la operación de la línea de espera.
Mejora de la operación de la línea de espera :
Los modelos de línea de espera indican con frecuencia cuando es conveniente mejorar sus características de operación. Sin embargo, la decisión de cómo modificar la configuración de la línea de espera para mejorar las características de operación debe basarse en las ideas y la creatividad del analista. Después de revisar las características de operación provistas por el modelo de línea de espera, la gerencia de la empresa de hamburguesas concluyó que las mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera son convenientes. Para mejorar la operación de la línea de espera, los analistas se enfocan a menudo en formas de mejorar la tasa de servicios. En general, la tasa de servicios mejora con uno o
ambos de los siguientes cambios:
  1. Incrementar la tasa de servicios por medio de un cambio de diseño creativo o una nueva tecnología.
  2. Agregar uno o más canales de servicio de modo que más clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo.


Modelo de línea de espera de múltiples canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales :
Una línea de espera de múltiples canales se compone de dos o más canales de servicio que se supone son idénticos en función de capacidad de servicio. En el sistema de múltiples canales, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego se dirigen al
primer canal disponible para ser atendidas. La operación de canal único de la empresa de Hamburguesas puede ampliarse a un sistema de dos canales abriendo un segundo canal de servicio. En esta sección se presentan fórmulas para determinar la características de operación constante de una línea de espera de múltiples canales. Estas fórmulas son apropiadas si existen las siguientes condiciones:
  1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.
  2. El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.
  3. La tasa de servicios μ es la misma para cada canal.
  4. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego se dirigen al primer canal abierto para que las atiendan.
Características de operación
Las siguientes fórmulas se utilizan para calcular las características de operación de líneas
de espera de múltiples canales, donde :
λ=tasa de llegadas del sistema
μ=tasa de servicios de cada canal
k=número de canales


1.Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:


2. Número promedio de unidades en la linea de espera.
3. Número Promedio de Unidades en el sistema.




4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:



5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:



6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan:



7. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:


con n ≤ k


con n > k


Como μ es la tasa de servicios de cada canal, kμ es la del sistema de múltiples canales. Al igual que para el modelo de espera de canal único, las fórmulas de las características de operación de líneas de espera de múltiples canales se aplican sólo en situaciones en las que la tasa de servicios del sistema es mayor que su tasa de llegadas, en otros términos, las fórmulas se aplican sólo si kμ es mayor que  λ. Algunas expresiones de las características de operación de líneas de espera de múltiples canales son más complejas que sus contrapartes de canal único. Sin embargo, las ecuaciones (1) a (7) dan la misma información que la provista por el modelo de canal único. Para simplificar el uso de ecuaciones de múltiples canales, existe una tabla que contiene valores de P0 para valores seleccionados de λ/μ y k. Los valores que aparecen en la tabla corresponden a casos en losque kμ >λ, y por consiguiente la tasa de servicios es suficiente para procesar todas las llegadas.


VALORES DE P0 PARA LÍNEAS DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y
TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES



Razón
λ /μ

Número
de canales (k)

2
3
4
5

0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
3.20
3.40
3.60
3.80
4.00
4.20
4.40
4.60
4.80
0.8605
0.8182
0.7778
0.7391
0.7021
0.6667
0.6327
0.6000
0.5686
0.5385
0.5094
0.4815
0.4545
0.4286
0.4035
0.3793
0.3559
0.3333
0.2500
0.1765
0.1111
0.0526
0.8607
0.8187
0.7788
0.7407
0.7046
0.6701
0.6373
0.6061
0.5763
0.5479
0.5209
0.4952
0.4706
0.4472
0.4248
0.4035
0.3831
0.3636
0.2941
0.2360
0.1872
0.1460
0.1111
0.0815
0.0562
0.0345
0.0160
0.8607
0.8187
0.7788
0.7408
0.7047
0.6703
0.6376
0.6065
0.5769
0.5487
0.5219
0.4965
0.4722
0.4491
0.4271
0.4062
0.3863
0.3673
0.3002
0.2449
0.1993
0.1616
0.1304
0.1046
0.0831
0.0651
0.0521
0.0377
0.0273
0.0186
0.0113
0.0051
0.8607
0.8187
0.7788
0.7408
0.7047
0.6703
0.6376
0.6065
0.5769
0.5488
0.5220
0.4966
0.4724
0.4493
0.4274
0.4065
0.3867
0.3678
0.3011
0.2463
0.2014
0.1646
0.1343
0.1094
0.0889
0.0721
0.0581
0.0466
0.0372
0.0293
0.0228
0.0174
0.0130
0.0093
0.0063
0.0038
0.0017

Características de operación en el problema de la empresa de Hamburguesa: 
Para ilustrar el modelo de línea de múltiples canales, volvamos al problema de la línea de espera del restaurante de comida rápida. Suponga que la gerencia desea evaluar la conveniencia de abrir una estación de procesamiento de pedidos de modo que dos clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo. Suponga una línea de espera única con el primer cliente que se dirige al primer despachador disponible. Evaluemos las características de operación de este sistema de dos canales. Utilizamos las ecuaciones (1) a (7) para el sistema de k = 2 canales. Con una tasa de llegadas de λ =0.75 clientes por minuto y una tasa de servicios de μ= 1 cliente por minuto para cada canal, se obtienen las características de operación:














Con las ecuaciones 7 podemos calcular las probabilidades de que haya n clientes en el sistema. Los resultados de estos cálculos se resumen en la siguiente tabla.. Ahora podemos comparar las características de operación constante del sistema de dos canales con las características de operación del sistema de canal único original, analizado en la sección anterior.

  1. El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (tiempo de espera más tiempo de servicio) se reduce de W = 4 minutos a W = 1.1636 minutos.
  2. El número promedio de clientes formados en la línea de espera se reduce de Lq =2.25 clientes a Lq = 0.1227 clientes.
  3. El tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera se reduce de Wq= 3
  4. minutos a Wq= 0.1636 minutos.
  5. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar a que lo atiendan se reduce de Pw = 0.75 a
    Pw=0.2045.
Es evidente que el sistema de dos canales mejorará de forma significativa las características de operación de la línea de espera. Sin embargo, si se agrega un despachador de pedidos en cada estación de servicio se incrementaría aún más la tasa de
servicios y mejorarían las características de operación. La decisión final con respecto a la política de provisión de personal en la empresa de Hamburguesa corresponde a la gerencia. El estudio de la línea de espera simplemente da las características de operación que pueden anticiparse con tres configuraciones: un sistema de canal único con un empleado, un sistema de canal único, y un sistema de dos canales con un empleado en cada canal
Algunas relaciones generales de modelos de línea de espera:
L = λW (a)
Lq = λWq (b)
Al utilizar la ecuación (b y resolverla para Wq , se obtiene :

Wq= Lq / λ (c)


La ecuación (c) se obtiene directamente de la segunda ecuación de flujo de Little. La utilizamos para el modelo de línea de espera de canal único y el modelo de línea de espera de múltiples canales en la sección. Con Lq calculado para cualquiera de estos modelos, entonces se utiliza la ecuación (c) para calcular Wq . Otra expresión general que se aplica a modelos de línea de espera es que el tiempo promedio en el sistema, W, es igual al tiempo promedio en la línea de espera, Wq , más el tiempo de servicio promedio. Para un sistema con tasa de servicios μ, el tiempo de servicio medio es 1/μ Así, tenemos la relación general:
W=Wq + 1 / μ


Esta ecuación la podemos utilizar para obtener el tiempo promedio en el sistema con modelos de línea de espera tanto de canal único como de múltiples canales. Si despejamos Wq de esta ecuación entonces obtenemos:
Wq= W- 1 / μ
=
4,5 – (1 / 0,50) = 2,5 minutos


Análisis Económico de Línea de espera
Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, comenzamos por definir la notación que se utilizará:
Cw= costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad
L = número promedio de unidades en el sistema
Cs= costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal
k=número de canales
TC = costo total por periodo de tiempo

El costo total es la suma del costo de espera y el costo de servicio; es decir:
TC= Cw L+CSK
Para realizar un análisis económico de una línea de espera, debemos obtener estimaciones razonables del costo de espera y el costo del servicio. De estos dos costos, el de espera; en general, es el más difícil de evaluar. En el problema del restaurante de hamburguesas, el costode espera sería el costo por minuto que un cliente espera para que lo atiendan. Este costo no es un costo directo para la empresa. Sin embargo, si la empresa de hamburguesas lo ignora y permite líneas de espera largas, los clientes finalmente se irán a otra parte; así, perderá ventas y, en realidad, incurrirá en un costo.
El costo del servicio, en general, es el más fácil de determinar. Éste es el costo pertinente asociado con la operación de cada canal de servicio. En el problema de hamburguesas, este costo incluiría el salario y las prestaciones del despachador y cualesquiera otros costos directos asociados con la operación del canal de servicio. En la
empresa de hamburguesas se estima que este costo es de $7 por hora. Para demostrar el uso de la ecuación del costo total, suponga que esta empresa desea asignar un costo de $10 por hora al tiempo de espera de un cliente. Utilizamos el número promedio de unidades en el sistema, L, tal como calculó en las secciones anteriores para obtener el costo por hora total de los sistemas de un canal y dos canales:
Sistema de canal único (L =3clientes):
TC= Cw L+CSK=10(3)+7(1) =37 $ por hora

Sistema de dos canales (L = 0.8727 clientes):


TC= Cw L+CSK=10(0,8727)+7(2)= 22,73 $ por hora


Por tanto, con base en los costos provistos por la empresa de hamburguesas, el sistema de dos canales opera de forma más económica.

Modelo de línea de espera de canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicio arbitrarios


Características de operación del modelo M/G/1
La notación utilizada para describir las características de operación del modelo M/G/1 es :
λ= tasa de llegadas
μ= tasa de servicios
σ= desviación estándar del tiempo de servicio
Algunas de las características de operación constante del modelo de línea
de espera M/G/1 son las siguientes:
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:




2. Número promedio de unidades en la línea de espera:



3. Número promedio de unidades en el sistema:




4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:




5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:



6, Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan:




Tiempos de servicio constantes
Deseamos comentar brevemente sobre el modelo de línea de espera de canal único que asume llegadas aleatorias, pero tiempos de servicio constantes. Una línea de espera como esa puede ocurrir en entornos de producción y manufactura donde los tiempos de servicio controlados por máquina son constantes.




Modelo de múltiples canales con llegadas Poisson, tiempos de servicio arbitrarios y sin línea de espera :

Una interesante variación de los modelos de línea analizados hasta ahora implica un sistema en el cual no se permite esperar. Las unidades o clientes que llegan buscan que los atiendan en uno de varios canales de servicio. Si todos los canales están ocupados, a las unidades que llegan se les niega el acceso al sistema. En terminología de línea de espera, las llegadas que ocurren cuando el sistema está completo son bloqueadas y eliminadas del sistema. Tales clientes pueden perderse o intentar regresar más tarde al sistema.


El modelo específico considerado en esta sección se basa en los siguientes supuestos:


  1. El sistema tiene k canales.
  2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas λ.
  3. El tiempo de servicio de cada canal puede tener cualquier distribución de probabilidad.
  4. La tasa de servicios μ es la misma para cada canal.
  5. Una llegada entra al sistema sólo si por lo menos un canal está disponible. Una llegada que ocurre cuando todos los canales están ocupados es bloqueada, es decir, se le niega el servicio y no se le permite entrar al sistema.


Características de operación del modelo con clientes bloqueados eliminados




donde:
λ=tasa de llegadas
μ=tasa de servicios de cada canal
K= número de canales
Pj=probabilidad de que j de los k canales estén ocupados con j = 0, 1,2, . . . , k
El valor de probabilidad más importante es P k , el cual es la probabilidad de todos los k canales estén ocupados. En porcentaje, Pk indica que el porcentaje de llegadas bloqueadas y a las que se les niega el acceso a sistema. Otra característica de operación de interés es el número promedio de unidades en el sistema; observe que este número equivale al número promedio de canales en uso. Con L como el número promedio de unidades en el sistema, tenemos:



Modelos de línea de espera con fuentes finitas :
Para los modelos de línea de espera presentados hasta ahora, la población de unidades o clientes que llegan para ser atendidos se ha considerado ilimitada. En términos técnicos, cuando se establece límite sobre cuántas unidades pueden buscar ser atendidas, se dice que el modelo tiene una población con fuente finita. Con base en este supuesto, la tasa de llegadas λ permanece constante independientemente de cuántas unidades estén en el sistema de línea de espera. Este supuesto de población con fuente infinita se hace en la mayoría de los modelos de línea de espera.


El modelo de población con fuente finita analizada en esta sección se basa en los siguientes supuestos:


  1. Las llegadas de cada unidad sigue una distribución de probabilidad de Poisson, con
  2. tasa de llegadas λ.
  3. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con
  4. tasa de servicios μ.
  5. La población de unidades que buscan ser atendidas es finita.
Características de operación del modelo con una población con fuente finita:


λ=tasa de llegadas
μ=tasa de servicios de cada canal
N = tamaño de la población


1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema




2. Número promedio de unidades en la linea de espera:



3. Número promedio de unidades en el sistema:




4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:



5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:




6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan:




7. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:



https://www.youtube.com/watch?v=rFVDGBgg7SE

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